Zuby kol astrolábu

Výpočet zubů kol astrolábu, tedy slunečního kola, kola ekliptiky a kola Měsíce je opředen tajemstvím. Má se za to, že poměr zubů 366 : 365 : 379 je magický a nelze ho jednoduše odvodit. Opak je pravdou.

---

Ke zhotovení soukolí otáčejícího Sluncem, ekliptikou a Měsícem je třeba znát dvě veličiny:

1. Počet dnů v roce (365)
2. Délku průměrného měsíčního cyklu (synodického měsíce) neboli dobu mezi dvěma novy (29,5 dne).
   

U systému tří kol poháněných jedním společným pastorkem je třeba uvažovat takto:

Rafije Slunce se otočí jedenkrát za den. Ekliptika se musí točit rychleji - tak, aby po roce (365 otáčkách Slunce) byla ekliptika vzhledem ke Slunci opět ve stejné poloze. 

Za 1 den je tedy potřeba otočit kolo ekliptiky o celou 1 otáčku a k tomu navíc o 1/365 otáčky. Kolo ekliptiky tedy musí mít počet zubů dělitelný 365 (počtem dnů v roce), což je nejjednodušeji 365. Jeden zub pak bude 1/365 obvodu kola ekliptiky a o tento jeden zub se musí ekliptika pootočit za den navíc oproti Slunci (kolo ekliptiky oproti slunečnímu kolu). Ekliptika se tedy za jeden den musí otočit o 365+1 = 366 zubů. Proto se pastorek, který ekliptikou otáčí, bude muset pod kolem ekliptiky otočit za jeden den také o 366 zubů.)* Kolo Slunce pak musí mít tolik zubů, o kolik zubů se společný pastorek otočí za den, to je 366. Za den se tedy otočí společný pastorek pod koly Slunce a ekliptiky o 366 zubů, což kolem Slunce otočí o 1 otáčku a kolem ekliptiky otočí o 1 a 1/365 otáčky. Za 365 dní se kolo Slunce otočí 365x, kolo ekliptiky 366.

Měsícem je potřeba točit pomaleji než Sluncem, musí mít zubů víc než 366. Ke správnému počtu zubů dospějeme jednoduchou úvahou:

Sluneční kolo má 366 zubů. Oby se otočilo o jednu otáčku, musí na společném hnacím pastorku projít 366 zubů. Za 29,5 dne se otočí sluneční rafije 29,5x, to je o 10 797 zubů (29,5 x 366). O tento počet zubů se otočí i společný hnací pastorek. Pokud jako výchozí polohu vezmeme nov, pak se do okamžiku příštího novu, za 29,5 dne, musí Měsíc otočit přesně o jednu otáčku méně, aby se dostal na stejné místo, kde bude za 29,5 dne Slunce a nastal opět nov. Měsíc se musí  tedy otočit o 28,5 otáček. Protože se hnací pastorek pod měsíčním kolem otočí o 10 797 zubů, musí tento počet zubů otočit měsíčním kolem 28,5x. 10 797/28,5 = 378,8 - měsíční kolo musí mít počet zubů jako nejbližší celé číslo, to je 379 zubů. )**

---

)* Společný pastorek může být různě veliký, na orloji má 24 zubů, musí se proto otočit za den 15,25x. Kdyby měl třeba 6 zubů, musel by se protočit 61x, při 10 zubech 36,6x. Aby se pak Sluneční rafije otočila o 360 stupňů přesně za den, musí se jen správně seřídit rychlost chodu stroje. Jicí stroj zde nemusí mít přesně celý počet otáček za den (počet otáček nemusí být celé číslo), ostatní funkce orloje jsou spouštěny přímo slunečním kolem.

)** Vzniklá chyba v otáčení Měsíce za synodický měsíc, tedy za 29,5 dne, je 379-378,83 = 0,17   0,17x28,5 = 4,85 zubů.

Vzhledem ke slunečnímu kolu se kolo měsíční otočí o jednu otáčku (379 zubů) za 29,5 dne, o 1 zub za 112 minut.  (112 x 4,85 = 543 minut, více než 9 hodin) Měsíční kolo má v tomto případě „více“ zubů (o 0,17 zubu), otáčí se tedy po astrolábu pomaleji, na jeho dráze proti Slunci je naopak jeho pohyb rychlejší. Příští zákryt Měsíce se Sluncem nastane proto o 9 hodin dříve. (Uváděné hodnoty jsou pro zjednodušení zaokrouhleny.)

Nebo jinak - od novu k novu se sluneční kolo otočí 29,5x, tedy o 10 797 zubů (29,5x366). Měsíční kolo se otočí 28,5x, tedy o 10 801,5 zubů (28,5x379). Rozdíl - chyba je 4,5 zubů (10 801,5-10 797=4,5). Počítáno opět se zaokrouhlenými hodnotami.

 Petr Skála 26. 2. 2011.