naspis

Novinky


Mapa


Kontakt


Vyhledávání



Péče o památky Prahy



Český spolek horologický


TOPlist

Valid XHTML 1.0 Transitional

Vývoj názorů na geometrii ciferníku Pražského orloje

Ve filosofii představují názory matematika Descarta obrat na pole subjektivity. Postupně došel k závěru, že nás klamou nejen naše smysly a naše myšlenky, ale klame nás i věda. Jediné co je nesporné, je to, že je tu on, kdo o věcech pochybuje. Cogito ergo sum. Protože si myslím, že jedině pochybnosti o dříve vyslovených "pravdách" nás mohou posunout v poznání dále, napsal jsem tento článek. Pochybovat se bude o nutném použití stereografické projekce při stavbě a údržbě orlojů.

Dnes stále převládá názor, že orloj je astroláb sestrojený stereografickou projekci a poháněný hodinovým strojem. Středověké orloje asi byly astrolábem inspirované. Stereografická projekce nebyla ještě teoreticky známá. Konstrukce ciferníku se však musela podřídit možnostem stroje a musela se od teoreticky správného astrolábu nutně odklonit. Musel být ztotožněn střed otáčení ekliptiky a oblohy. Rovněž rozdělení ekliptiky na znamení (alespoň dnes) projekci neodpovídá. Základním problémem je, že symbol Slunce by se měl po "astrolábu" pohybovat nerovnoměrně, kdežto ekliptika vyžaduje rovnoměrný pohyb. Oba tyto pohyby však jednoduchá mechanika Pražského orloje nemůže provádět. 


Nejstarší popisy konstrukce astrolábu

Z doby vzniku Pražského orloje je zachován popis konstrukce astrolábu od Křišťana z Prachatic. Konstrukce začíná volbou kružnice obratníku Kozoroha, od které jednoduchým postupem odvodí ostatní prvky astrolábu. Formálně nejde o stereografickou projekcí, protože se tu nic nepromítá. Tento termín zavedl až François D’Aguillon (1566–1617). V době vzniku orloje to byla intuitivně používaná konstrukce, jejíž výsledek je však totožný s výsledkem, ke kterému bychom dospěli stereografickou projekcí vedenou z pólu oblohy. 

Prakticky stejnou konstrukci obsahuje i orlojní kniha ze 17. století. V tomto případě je konstrukce přizpůsobena ciferníku orloje a na rozdíl od hvězdářských astrolábů začíná od kružnice obratníku Raka. Odpovídá promítání ze severního pólu oblohy. Více o konstrukci včetně důkazu stejného výsledku uvádíme na stránce Atrolabium parvum. Orlojní kniha uvádí i správné rozdělení ekliptiky dle stereografické projekce. Toto dělení dnes na orloji nenajdeme. Nevíme, zda tam někdy bylo.

V obou případech je z praktických důvodů zvolena pro základ konstrukce největší kružnice. Jeden z důvodů je to, že konstrukce je pak snadno zapamatovatelná pro kohokoliv. Rovnou je určena velikost astrolábu. Druhý důvod je technický. Vždy se v praxi dopustíme menší chyby, když odvozujeme menší kružnici od větší než naopak. 

Vitruvius - Analémmata -  arachné - hodiny Anaforika

Nemůžeme pominout, že ve starém Římě existovala ještě jiná konstrukce zobrazení "otáčení vesmíru kolem Země". Vitruvius v deváté knize o architektuře popisuje konstrukci analémmat. Konstrukce zohledňuje polohu Slunce na ekliptice i okamžiky rovnodennosti a slunovratů.vitruvius rekonstrukce anaforických hodin Jako sklon zemské osy bere hodnotu 1/15 kruhu, tedy 24°. Vytváří horizont, rovník i ekliptiku. Používala se především při návrhu astronomicky správných slunečních hodin, ale i astronomických vodních hodin. Výchozím konstrukčním údajem je poměr výšky gnómonu a délky stínu v době rovnodennosti, což reprezentuje zeměpisnou šířku.  Podrobněji například zde

Arachné byl přístroj, který sloužil zejména jako sluneční hodiny, umožňoval však měřit i výšku hvězd nad horizontem. Sestával z polokruhového ciferníku a otáčivévé části, na které byla znázorněna nebeská klenba včetně některých hvězd a zvěrokruh s dvanácti nebeskými znameními. Vitruvius také popisuje vodní hodiny anaforika, které mají rovněž otáčivý disk s "vesmírem". Poloha Slunce se vyznačuje kolíkem zasunovaným do příslušného denního otvoru. Před diskem je síť z drátů (pavoučí síť) rozvržených dle analémmatu. Světlý den je rozdělen na 12 nestejných hodin v závislosti na dni v roce. V noci hodiny neukazují. Kolíček obsluha každý den nastaví na nultou hodinu. Na obrázku je pokus o rekonstrukci anaforik od A. Otoupalíka. Nákres je však jen schematický. Stojí za to, se nad rekonstrukcí anaforik znovu zamyslet. Podrobněji zde.

Dnešní způsob sestrojení stereografické projekce 

Základy této konstrukce položil patrně Hipparchos (190–120 př. n. l.). První písemné zmínky však o ní nacházíme až u Vitruvia v díle Deset knih o architektuře a v Ptolemaiově pojednání Zobrazení sféry do roviny. Klaudios Ptolemaios (asi 85–165)31 popsal průmět nebeské sféry (její severní polokoule) na rovinu rovníku, přičemž za střed projekce vzal jižní pól. Naznačil, že průmětem libovolné kružnice je opět kružnice, kromě největších kružnic procházejících pólem, jež se promítnou jako přímky. Obecný důkaz tohoto tvrzení však nepodal, spokojil se s důkazem pouze pro několik speciálních případů. Nepoukázal ani na skutečnost, že stereografická projekce zachovává velikosti úhlů. (Viz Historický přehled geometrických transformací zde.)

Vitruvius i Ptolemaios se věnovali astronomickým pozorováním nebeské sféry, k jejímu proměřování využívali starověké přístroje arachné a astroláb. Jak Vitruvius, tak Ptolemaios ve svých pracích využívali základní vlastnosti stereografické projekce, avšak bez důkazů.

Tato projekce promítá povrch koule oblohy do roviny za výhodných podmínek. Zejména zachovává kružnice kružnicemi. Protože se předpokládá, že takto jsou sestrojeny všechny ciferníky, mnoho badatelů se snaží vyčíslit rozdíly linií ciferníku od této teoretické konstrukce. Málokdo si uvědomuje, že ciferník orloje není měřící astroláb na kterém astronomicky správně můžeme nastavit jednotlivá tělesa. Pohyb otočných prvků na orloji je zjednodušen a byl dokonce jiný v době vzniku orloje a jiný je dnes. Správnost či nesprávnost ciferníku proto nelze posuzovat pouze vůči této teoretické podobě. Je nutné zohlednit celý mechanismus. Z astronomického hlediska je rozhodující, jak dobře je na ciferníku zobrazena astronomická situace v lokalitě orloje. I na ciferníku s jinou geometrií, lze astronomickou situaci zobrazit správně.

Samostatnou otázkou je, zda má být ekliptika dělena na znamení podle stereografické projekce nebo úhlově rovnoměrně ze středu otáčení. Úhlově rovnoměrné dělení lépe vyhovuje rovnoměrně jdoucímu stroji. Ten však v době vzniku orloje k dispozici nebyl. Častému seřízení rafie podle Slunce a ekliptiky podle hvězd odpovídá spíše nerovnoměrné dělení ekliptiky. Správně by tak byla zobrazována ekliptikální délka Slunce. Pokud ovšem vše podřídíme Slunci, nebudou odpovídat východy a západy jednotlivých znamení, protože se pohybují podle hvězdného času. Dělení rovněž nebude vyhovovat Měsíci. Ten však do celého modelu moc nezapadá z mnohem vážnějších důvodů, zejména proto, že se nepohybuje v rovině ekliptiky. Protože Slunce je rozhodující těleso, je možné dělení dle Slunce přijmout. 

Při konstrukci musíme uvažovat dobové parametry. Sklon zemské osy se vlivem precese pomalu mění. Křišťan pro nesoulad různých autorů doporučuje hodnotu 24°.  Konkrétní zeměpisnou šířku neuvádí, protože popisuje obecný návrh astrolábu. V nouzi se tedy uchýlíme k popisu v orlojní knize, kde se uvažuje zeměpisná šířka v hodnotě rovných 50°.

Jiné teoretické konstrukce 

Astronomové a matematici středověku se pokoušeli využít ke konstrukci astrolábu i jiné geometrické transformace. Perští astronomové navrhli nahradit stereografickou projekci sféry do roviny z jejího pólu projekcí z libovolného bodu souřadnicové osy; v ní se kružnice na sféře zobrazí obecně do kuželoseček. Navrhli také  za základ konstrukce tzv. válcovou projekci, tj. ortogonální projekci podle osy, která je limitním případem předchozí projekce. Tato projekce zobrazí kružnice buď na kružnice, nebo na elipsy.


V dalším textu ukážeme, že pro navržení správně ukazujícího ciferníku orloje není nutné dodržet astromické předpoklady správné projekce. Není nutné dodržet sklon zemské osy, není nutné dodržet zeměpisnou šířku. Funkční ciferník lze navrhnout čistě empiricky.


Erbenův popis konstrukce ciferníku v době velké opravy v letech 1865-66

Ačkoliv to někomu bude znít nepravděpodobně, lze funkční astronomický ciferník sestrojit i bez znalosti předchozí konstrukce, dokonce bez respektování některých astronomických hodnot. K. J. Erben při popisu vychází z libovolně zvolené kružnice ekliptiky. Někde v takto ohraničeném kruhu zvolí střed otáčení, který nazývá výstředník. Kružnice obratníků jsou pak kružnice opsané a vepsané k ekliptice ze zvoleného středu. Velikost rovníku určuje průsečík ekliptiky s kolmicí k průměru v bodě otáčení. (Vzdálenost středu ekliptiky od středu otáčení je ve stereografické projekci závislá na sklonu zemské osy. Teoreticky tak vznikne správná stereografická projekce pro jinou planetu.) 

Pokud je zde sklon osy jen nějak zvolen, neznáme (zatím?) přesný způsob přepočtu zeměpisné šířky. Proto musí být kružnice (křivka) obzoru řešena již jen empiricky. I K. J. Erben v době velké opravy orloje, tedy v letech 1865-66, popisuje metodu konstrukce horizontu (křivici obzoru pražského) vynesením empirických hodnot východů a západů Slunce. Empirické body je pak možné aproximovat kružnicí nebo obecnou křivkou. Pokud předpokládáme ještě nastavení na pravý sluneční čas, budou východy a západy Slunce zobrazeny správně. Správně je možné provést i rozdělení planetních hodin. Matematický model tohoto ciferníku s možností nastavit parametry si můžete vyzkoušet na tomto odkazu. Model při nastavení na sluneční a hvězdný čas zakresluje reálnou polohu Slunce do konstrukce ciferníku s parametry sklon osy a zeměpisná či simulovaná šířka. Empirickým určením přechodu Slunce "obzorem Pražským" se zároveň postihnou atmosférické jevy. Křivka východu a západu Slunce může více odpovídat almukantarátu -0° 50´.

(Těžko však říci, jak vlastně postupovali "mužové praktičtí" při velké opravě, když se při realizaci dopustili tolika chyb. Kružnice ekliptiky se ani po následném zvětšení nedotýká obratníků, čímž se popírá základní demonstrační funkce.) 

Ciferník po SEČ

Nastavení Pražského orloje na SEČ

Vliv dnešního nastavení Pražského orloje na pásmový čas se většinou podceňuje. Podceňuje se zejména vliv časové rovnice. Rozptyl hodnot je cca půl hodiny, což je hodnota dosti podstatná. Nastavením na SEČ jsme z "praktických důvodů" rezignovali na astronomickou správnost. Tomuto nastavené ciferník ovšem nevyhovuje. Nesprávně jsou zobrazeny všechny údaje související se Sluncem. Pokud je pohyb sluneční rafie prováděn rovnoměrně, měl by být nerovnoměrný ciferník pro všechny související údaje. 

Konkrétní vliv je na obrázku. Ukazuje se, že všechny křivky související s polohou Slunce by měly být nahrazeny analemou. Také se ukazuje, že čára východů a západů slunce by mohla být aproximovaná kružnicí obzoru pro vyšší zeměpisnou šířku. Ještě lépe amukantarátem skoro stupeň pod obzorem. Je evidentní, že v současné době zobrazuje astronomický ciferník reálnou astronomickou situaci mnohem hůře než v době, kdy se nařizoval na pravý sluneční čas. 

Při dnešním rovnoměrném chodu sluneční rafie (což není astronomicky žádoucí) se vlivem pevného převodu též rovnoměrně pohybuje ekliptika (což žádoucí je). Poměr rychlosti otáčení však není přesný; je určen převodem 365/366. Odchylka je cca 1/4° za rok, což však zásadní chybu nepřináší. Rozsáhlejší informace zde.

Astronomická noc

Je sice pravda, že astronomická noc je uvedená i v Křišťanově popisu konstrukce astrolábu. Její existence na astronomickém ciferníku však není doložena v žádném starším popisu. S návrhem jí zakreslit i na ciferníku Pražského orloje patrně poprvé přišel astronom Böhm, který měl dohlížet na astronomickou správnost rekonstrukce Pražského orloj v letech 1865-66. I pod jeho dohledem či nedohledem došlo k mnoha chybám. Astronomická noc nebyla zakreslena. Objeví se až na fotografii z rohu 1911. Teoreticky by měla odpovídat empiricky sestrojenému obzoru, protože je to rovněž almukantarát. 

Vzhledem k tomu, že astronomická noc se ve více než šestisetleté historii orloje vyskytuje na orloji jen v posledním období a to v období, kdy jsou astronomická funkce orloje potlačeny nastavováním na pásmový čas, je její význam více než sporný. Když už na ní budeme trvat, měla by být zakreslena správně, tedy tak, aby odpovídala skutečnému chodu stroje, nikoliv jen idealizované konstrukci. 

Jak posuzovat správnost ciferníku?

To je zásadní otázka kolem které se točí všechny nedávné spory o astronomickou noc. Nelze jí však odpovědět, pokud si neujasníme co rozumíme slovem "správný ciferník". Kdybychom se stejně ptali třeba u starého obrazu, asi bychom se shodli, že je to podoba, jakou mu vtělil jeho autor. U středověkého orloje, který prošel dlouhým vývojem jak oprav tak úprav to jednoznačné není. Orloj prošel více podobami a žádnou z nich nemůžeme prohlásit za špatnou. Pojem "správný" nelze redukovat na dodržení nějakého hypotetického matematického modelu. "Správnost ciferníku" nemůžeme jednotlivě posuzovat jen pohledem matematika (shodnost s nějakým matematickým modelem), astronoma (věrnost zobrazení astronomických jevů), historika (shodnost s dobovými prameny) či filozofa (hledání původního smyslu díla). Rozhodující musí být ochrana všech hodnotných podob. Musíme chránit nejen hmotu, ale i ducha památky. Spory, které v průběhu restaurování nastaly kolem otázky “jak má být zakreslena oblast soumraku”, byly spory mezi názorem, zda je důležitější zachovat modernizovanou omalbu ciferníku se zakreslením historicky nedoložené astronomické noci z roku 1979, nebo je možné hledat starší podobu ciferníku, která by více odpovídala středověkému dílu. Tyto názory se vyvíjely. Rozhodně ve sporu nešlo o neúctu k památce, spíše naopak.  

Vliv "údajně chybných" parametrů konstrukce ciferníku

Při bližším zkoumání geometrie ciferníku pražského orloje se zdá, že bychom dostali větší shodu s reálnou konstrukcí, kdybychom předpokládali větší sklon zemské osy a naopak menší zeměpisnou šířku. Takový obrázek si můžete generovat například pomocí URL  orloj.eu/noc/obzor_erben_sc.php?sklon=25.4&n=49  (Zadané parametry se týkají jen konstrukce planisféry, západy a východy Slunce jsou platné pro lokalitu orloje.) 

Použitý matematický model umožňuje různé experimenty. Ukazuje se, že při skoro libovolné volbě sklonu zemské osy a při empiricky sestrojené křivce obzoru, následně pak aproximované kružnicí, bude mechanika orloje i na takto sestrojeném ciferníku ukazovat správně. Správně bude zobrazena poloha Slunce v okamžiku definovaném slunečním časem.  Metoda popisovaná K. J. Erbenen, tedy volba výstředníku a empirická konstrukce obzoru dává zcela vyhovující výsledek. Zejména pokud volba nebude zcela náhodná, ale vyplyne z původního stavu. Na následujícím obrázku jsem to záměrně přehnal. Obratníky a rovník odpovídají sklonu zemské osy 15°. Linie obzoru lze aproximovat kružnicí obzoru pro zeměpisnou šířku 62.5°. Ta dobře aproximuje reálné okamžiky východu a západu Slunce v Praze. Můžete si zkusit změnit parametry v odkazu na matematický model

Nelze posuzovat správnost konstrukce ciferníku podle shody s teoretickou stereografickou konstrukcí, ale podle toho, jak ukazuje místní astronomickou situaci. Pokud jsou dodrženy některé vztahy prvků (viz Erben) je ciferník funkční i při značných odchylkách od teoretických hodnot. 

Ciferník orloje pro jiné parametr

Závěr?

Asi lze předpokládat, že ve středověku byla použita konstrukce shodná s konstrukcí popisovanou Křišťanem, ovšem vycházející z opačného pólu. Jak moc přesné bylo vlastní provedení orlojní hutí nevíme. Dobová svědectví neexistují. Časem se znalosti o funkci astrolábu dost vytratily, takže v době velké opravy patrně ti, co orloj opravovali, již potřebné znalosti neměli. Orloj ve své historii několikrát i po celá desetiletí nešel a omalby byly proto zhotovovány bez návaznosti na předchozí, vinou trvanlivosti barev a koroze podkladu nedochovaný stav. Při zásadní změně, jakou představovalo nastavení na SEČ, si možná nikdo neuvědomoval, poškození astronomické funkce orloje. Převážilo rovnoměrné vnímání času. Částečná náprava byla až po 2. světové válce, kdy byl změněn stroj čtyřiadvacetníku tak, aby přesto že se sluneční rafie pohybuje rovnoměrně, ukazovala pravý sluneční čas. 

Další přizpůsobování hmotných částí středověké památky však již není možné. To se týká i jejích novějších částí, které, ačkoliv jsou provedeny chybně, mají již historickou hodnotu, danou původem z 19. století. Výjimkou může být pouze rekonstrukce barevné omalby desky, protože se nedochovala (včetně svého podkladu) v autentické hmotě.

Petr Král


Telefon: 603 502 735, email: info (kyselá; ryba) orloj . eu