Astroláb a stereografická projekce na ciferníku orloje

K astrolábu jen krátce. Jedná se o středověký jednoduchý astrometrický přístroj založený na stereografické projekci. PhDr. Alena Hadravová, CSc. z Ústavu pro soudobé dějiny AV o něm říká: "Astronomický přístroj astroláb, který byl pro svou univerzalitu využíván snad dva tisíce let, byl takovým malým vědeckým zázrakem, chytrým a přitom i krásným předmětem. To, že právě traktát českého univerzitního učitele 15. století Křišťana z Prachatic byl z mnoha tehdy existujících textů o tomto přístroji vytištěn jako první pojednání o astrolábu na světě vůbec, je myslím hezký výsledek české středověké vědy." Český popis speciálního astrolábu - astrolabium parvum - najdeme i v orlojní knize ze 17. století.

Podle studie Marka Otiska (Popis a konstrukce astrolábu podle raně středověkých textů) se v posledních desetiletích 10. století v latinské křesťanské Evropě objevily první konstrukční texty o astrolábu. Nejprve vznikly v Katalánsku a záhy se rozšířily po lotrinských, francouzských a německých školách. Spolu s návodem na stavbu astrolábu se od prvotního uvedení literatury o tomto astronomickém přístroji psaly také pojednání o jeho užívání. Předlohou dvou rozličných typů latinských textů o astrolábu byl první nám dnes známý překlad či volný výklad arabského pojednání, jehož vznik se klade do okruhu Lupita (Llobeta, Senofreda) z Barcelony. V křesťanské Evropě záhy začala vznikat další přepracování a doplnění této skupiny textů. Buď ještě na severovýchodě Pyrenejského poloostrova nebo pravděpodobněji ve školách na území dnešní Francie či Německa vznikla modifikovaná podoba textu o stavbě astrolábu....... 

Znalosti o stavbě či použití astrolábu nejsou dnes běžně rozšířené, protože astroláb byl vytlačen lepšími přístroji. Pro pochopení historických orlojů s astrolábem je nutné se seznámit s teoretickým základem jeho funkce. Dnes bychom astroláb považovali za mechanickou výpočetní pomůcku, jakýsi analogový počítač, který využívá speciálního zobrazení povrchu koule - nebeské sféry do roviny. Tomuto zobrazení se říká stereografická projekce. Patrně první jí použil k promítnutí nebeské sféry do roviny alexandrijský učenec Hipparchos z Bithýnie kolem roku 180-125 př. n. l. Díky ní lze modelovat pohyby nebeských těles v rovině a provádět tak celkem jednoduše "výpočty sférické astronomie". Důležitou vlastností stereografické projekce je to, že každá prostorová kružnice na povrchu koule se zobrazí v rovině opět jako kružnice a zobrazení i přes svou nelinearitu zachovává úhly.  Více v prvním odkazu. 

Různé výpočetní pomůcky usnadní rutinní výpočty. Objev logaritmů umožnil konstrukci logaritmického pravítka, které díky logaritmické "projekci" čísel na posuvné stupnice umožňuje provádět operaci násobení sčítáním délek, tedy jen nastavením pravítka. Pro používání pravítka není nutné umět logaritmický počet, tak jako při použití dnešního počítače není nutné rozumět jeho konstrukci. Je to však více než dobré a patří to tak trochu ke všeobecnému vzdělání. Právě tak je vhodné rozumět i stereografické projekci. 

V následujících stránkách se budeme věnovat zejména využitím stereografické projekce pro konstrukci ciferníku orloje. Předpokládáme, že ciferník je odvozen od v té době rozšířeného planisférického astrolábu, kterým pohybuje hodinový stroj, byť v projekci z opačného pólu. V listu Mikuláši z Kadaně se uvádí: "dotčený mistr Mikuláš vedle svého mistrovství a smyslu přirozeného tomuto městu a vší obci ku poctivosti udělal astrolabium, v němž Slunce svůj pravý běh vykonává...." Autor Pražského orloje zvolil podobu ciferníku založeného na stereografické projekci i když k výsledku došel jinou cestou. 

Podoba ciferníku Pražského orloje je na rozdíl od "měřících astrolábů" založena na stereografické projekci oblohy ze severního pólu na rovinu rovníku. (Případně na jinou rovnoběžnou rovinu). To neznamená, jak je někdy nesprávně uváděno, že na ciferníku je jižní obloha. Projekce je schopna promítat celou oblohu. Severní oblohu vně kružnice rovníku, jižní oblohu pak dovnitř této kružnice. Ciferník Pražského orloje znázorňuje jen oblast dráhy Slunce, tedy oblast mezi obratníky. Za obratníkem Raka ciferník nepokračuje, žádné údaje se nezobrazují ani uvnitř obratníku Kozoroha. Ciferník orloje tedy zobrazuje symetrickou část severní i jižní oblohy i když plochy mezikruží jsou rozdílné.

Slovo "založena" znamená, že stereografická projekce se omezuje na vytvoření kružnic rovníku, obratníků, obzoru a případně astronomické noci či hranice soumraku. Rovněž kružnice ekliptiky je vytvořena v souladu s touto projekcí. Už to však neplatí pro pro pohyb ekliptiky a o jejím rozdělení na znamení. Nelineárnost zobrazení se mimo jiné projeví tím, že ačkoliv kružnice ekliptiky se promítá rovněž jako kružnice, pól této ekliptiky se již do středu kružnice nepromítá. (Samozřejmě se nikam nepromítá ani střed kružnice ekliptiky, protože neleží na jejím obvodu.) Technické řešení otáčení ekliptiky kolem pólu ekliptiky je mechanicky prakticky neproveditelné. Proto je použito zjednodušené řešení, kdy se ekliptika otáčí rovnoměrně kolem středu ciferníku. Vzhledem k tomu, že obecně složitější pohyby soustavy Slunce, Země a Měsíc jsou modelovány kruhovými rovnoměrnými pohyby, nepřináší opuštění principu stereografické projekce další zhoršení situace. (Srovnej Astrolabium parvum nebo Geometrie astrolábu pražského orloje.)

Základní konstrukce kružnic obratníků a rovníku je na obrázku. Vlastně jde o konstrukce dvě. Modře je nakresleno promítání podle pojetí stereografické projekce z pólu I na rovinu rovníku. Značení bodů je voleno podle orlojní knihy. Červeně je zakresle středověká konstrukce. 

Konstrukce hlavních kružnic podle Křišťana z Prachatic

Traktát Křišťana z Prachatic o stavbě a užití astrolábu pochází asi z roku 1407. Lze se domnívat, že se nejvíce bude blížit způsobu, jakým byl konstruován ciferník Pražského orloje. Prakticky stejnou (pouze otočenou) konstrukci nalezneme i v opisu Táborského zprávy o orloji ze 17. století na straně 71. To nás v tomto v přesvědčení ještě více utvrzuje.

Dnešní teoretické práce o stereografické projekci (viz odkazy) uvádějí promítání na rovinu tečnou k opačnému pólu. Vzdálenost projekční roviny ovlivňuje měřítko zobrazení. Vzdálenější rovina není pro konstrukci ciferníku příliš příznivá, protože se z menší kružnice odvozují kružnice větší. Tím se bohužel zvětšuje i chyba konstrukce. 

Z úcty k tradici budeme používat postup výroby astrolábu podle Křišťana, byť z opačného pólu. Konstrukce probíhá přímo na ciferníku, začíná z největší kružnice a minimalizuje tak konstrukční chyby. Vtip středověké konstrukce spočívá v tom, že se většinou promítá na rovinu procházející rovníkem z bodu G. Obratníky jsou od rovníku stejně vzdálené, tak se konstrukce dvakrát opakuje využívajíc podobnosti trojúhelníků N E B a L E G.

Konstrukce začíná libovolným nakreslením největší kružnice podle předpokládané velikosti ciferníku. Při projekci ze severního pólu jde o kružnici obratníku Raka. Dále nakreslíme ze středu úhel A E N představující sklon zemské osy. Podle Křišťana má být úhel 24°, podle opisu orlojní knihy 23,5°. (Sklon zemské osy se časem mění a v současné době je 23,439°). Zde jsme se tedy přidrželi hodnoty z orlojní knihy, protože i k ciferníku je třeba přistupovat jako k památce. Přímka vedená body B a N protíná svislou osu v bodě F, kterým ze stejného středu vedeme kružnici rovníku. Bod M získáme pomocí přímky G L. Vedeme jím kružnici obratníku Kozoroha, neboť jde o stereografický průmět obratníku Kozoroha při promítání z bodu G na rovinu rovníku. Ekliptika by byla vepsaná kružnice do kružnice Raka a opsaná kružnice kružnici Kozoroha. Její průměr je tedy součtem poloměrů kružnic obratníků. 

Velmi jednoduchá konstrukce, kterou nelze prakticky pokazit. Nebo ano? Stereografická projekce nebyla asi moc jasná ani autorům velké přestavby orloje v roce 1865, kdy vyrobili prstenec ekliptiky stejně velký jako rovník. Na sféře má ekliptika i rovník sice stejný průměr, ale stereografický průmět je odlišný. Proto pozdější "nastavení prstence", ale kupodivu již neopravené polohy Slunce a Měsíce. Dobové svědectví najdeme v rukopise K. J. Erbena. Více zde. Některé další případy chybného použití jsou uvedeny v závěru stránky. 

Konstrukce horizontu

Základní kružnice obratníků, rovníku a ekliptiky nejsou závislé na zeměpisné poloze orloje. Poloha horizontu a případná kružnice astronomické noci (respektive soumrakové kružnice) již se zeměpisnou šířkou souvisí. Podle dávné dohody (doloženo např. u Křišťana) je konec soumraku, respektive začátek astronomické noci 18° po západu Slunce. Za touto hranicí se již nezvyšuje počet pozorovatelných hvězd prostým okem.  Tato hranice je obraz kružnice výšky Slunce -18°, tedy 18 stupňů pod obzorem. Tato hranice je stanovena empiricky. Existence kružnice astronomického soumraku sice byla v době vzniku Pražského orloje známá, nejsou však známé žádné historické podklady, že by na ciferníku opravdu byla realizována. Pokud by byla považována za významnou, byla by patrně vyznačena také kovovým prutem, nikoliv jen nestálou barvou. 

Poznamenejme ještě, že při konstrukci orlojů byla  používána jak ukázaná projekce ze severního pólu, tak projekce z pólu jižního. Výhodou projekce ze severního pólu je to, že obratník Raka je vnější kružnice a Slunce tak v létě prochází nejvýše po největším oblouku. Co je výhodou pro Slunce není vhodné pro hvězdy. Všechny dochované přenosné planisférické astroláby jsou určeny pro pozorování hvězd, proto používají projekci z jižního pólu. Patrně s jejich větším rozšířením a snahou o sjednocení se toto promítání prosadilo i na orloje. Asi první takový orloj byl postaven v Mantově roku 1473. Novodobé orloje se k názornější severní projekci opět vrátily. (Litomyšl, Prostějov, Stará Bystrica, Tokio, Soul,...)

Ciferník orloje promítaného z jižního pólu poznáte podle prohozených obratníků a opačně vypouklé kružnice horizontu. 

Chybné konstrukce ve světě i v Praze

Správnou konstrukci bohužel neovládali ani "mužové praktičtí" při opravě Pražského orloje v letech 1865-66 a vyrobili kolo ekliptiky příliš malé. Svědčí o tom pojednání od K.J.Erbena. O tom, že tuto projekci možná neovládají ani tvůrci současných orlojů se můžeme přesvědčit třeba na orloji v Tokiu. Autor si patrně s konstrukcí nedělal příliš starostí a přenesl vizuální podobu z orloje v Praze. Orloj v Tokiu (35° s.š.) by měl vypadat asi jako na našem obrázku. (V konstrukci v Autocadu použita projekce do roviny jižního pólu.) 

Ale abychom nepoukazovali jen na Japonce. I náš Pražský orloj měl od roku 1948 do opravy v roce 1979 podivně namalovanou oblast pod obzorem. Na dobové pohlednici je vidět namalovaný tmavý soustředný kruh s obzorem. Ať kružnice měla představovat cokoliv, její tvar nemá v použitém matematickém modelu své místo. Neodpovídá ani historickým popisům ani hranici astronomickéh soumraku. Patrně jen představuje tmu.

V roce 1978 tehdejší student Milan Patka, oslovil Klub za starou Prahu a další odborníky s úvahou, že na ciferníku by mohla a měla být namalována astronomická noc. Odborníci uznali, že tehdejší ciferník je opravdu chybně omalován a souhlasili se zakreslením hranice soumraku, respektive kruhu astronomické noci. Co tomu předcházelo  a jak to vlastně bylo si můžete přečíst v autentickém podání pana Patky.